Üniversite Matematik Bilgi Yarışması Soruları ve Cevapları

1. Konveks optimizasyonun temel özelliği nedir?

A)Sadece lineerdir

B)Kısıt içermez

C)Yerel minimum, global minimumdur

D)Çözümü yoktur

2. Diferansiyel denklemlerde 'genel çözüm' kaç tane keyfi sabit içerir?

A)Sonsuz

B)n (mertebe kadar)

C)1

D)0

3. Diverjans (div F) operatörü skaler bir alan mı yoksa vektörel bir alan mı üretir?

A)Matris

B)Skaler

C)Vektörel

D)Tensör

4. Sayısal türev almada 'ileri fark' formülü neye eşittir?

A)(f(x+h)-f(x-h))/2h

B)h*f(x)

C)(f(x+h)-f(x))/h

D)f'(x)

5. Aşağıdakilerden hangisi her zaman kompakt bir uzaydır?

A)Gerçel sayılar kümesi (R)

B)Açık aralık (0, 1)

C)Kapalı ve sınırlı aralık [0, 1]

D)Doğal sayılar kümesi (N)

6. İstatistiksel çıkarımda 'tarafsız tahmin' (unbiased estimator) ne demektir?

A)Örneklemin büyük olması

B)Varyansın sıfır olması

C)Testin geçilmesi

D)Beklenen değerin parametreye eşit olması

7. Boyut (dimension) kavramı bir vektör uzayında neyi belirtir?

A)Matrisin boyutu

B)Bazdaki vektör sayısı

C)Vektörlerin uzunluğu

D)Uzaydaki eleman sayısı

8. Birim matrisin özdeğerleri nedir?

A)1 ve 0

B)Hepsi tanımsız

C)Hepsi 0

D)Hepsi 1

9. y' = y/x denkleminin çözümü nedir?

A)y = c/x

B)y = x^2

C)y = e^x

D)y = cx

10. Gradyan inişi (gradient descent) yönteminin amacı nedir?

A)Fonksiyonu minimize etmek

B)Kök bulmak

C)Fonksiyonu maksimize etmek

D)Matris tersi

11. Cisim (field) tanımında çarpma işleminin hangi özelliği eklenir?

A)Ters elemanın varlığı (sıfır hariç)

B)Değişme

C)Dağılma

D)Birim eleman

12. Bir kümenin 'baz' (basis) oluşturması için gereken iki temel şart nedir?

A)Lineer bağımsızlık ve uzayı germesi (span)

B)Lineer bağımlılık ve uzayı germesi

C)Sadece lineer bağımsız olması

D)Sadece uzayı germesi

13. Bir rassal değişkenin varyansı (Var(X)) aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

A)E[X^2] - (E[X])^2

B)E[X^2] + E[X]

C)E[X] - E[X^2]

D)√E[X^2]

14. Cauchy-Euler tipi x^2*y'' + x*y' + y = 0 denkleminin çözümünde kullanılan kabul nedir?

A)y = e^(mx)

B)y = x^m

C)y = ln(x)

D)y = sin(mx)

15. Topolojide 'limit noktası' nedir?

A)İç nokta

B)Kompakt nokta

C)Sınır noktası

D)Her komşuluğunda kümeden bir nokta olan nokta

16. x^n + y^n = z^n denkleminin n > 2 için tam sayı çözümü olmadığını ifade eden ünlü teorem hangisidir?

A)Goldbach Sanısı

B)Fermat'nın Son Teoremi

C)Riemann Hipotezi

D)Catalan Sanısı

17. Aşağıdaki olasılık dağılımlarından hangisi sürekli bir dağılımdır?

A)Bernoulli

B)Binom

C)Normal

D)Poisson

18. Wronskian determinantı W(y1, y2) = 0 ise, y1 ve y2 fonksiyonları için ne söylenebilir?

A)Lineer bağımsızdırlar

B)Lineer bağımlıdırlar

C)Ortogonaldirler

D)Çözüm kümesi oluşturmazlar

19. Homojen olmayan bir denklemde 'belirsiz katsayılar yöntemi' ne zaman kullanılır?

A)Sağ taraf polinom, üstel veya sinüs ise

B)Katsayılar değişken ise

C)Denklem lineer değilse

D)Her zaman

20. Üçlü integralde küresel koordinatlara geçildiğinde hacim elemanı dv nedir?

A)dr dtheta dphi

B)r^2 * sin(phi) dr dtheta dphi

C)r * sin(phi) dr dtheta dphi

D)r dr dtheta dphi

21. f(x,y) = x^2y + sin(xy) fonksiyonunun x'e göre kısmi türevi nedir?

A)2xy + cos(xy)

B)x^2 + cos(xy)

C)2xy + y*cos(xy)

D)2x + y*cos(xy)

22. Güçlü tümevarım (strong induction) ile zayıf tümevarım arasındaki temel fark nedir?

A)Güçlü tümevarımda n=1 durumu gerekmez.

B)Güçlü tümevarımda n=k'ya kadar olan tüm değerlerin doğru olduğu varsayılır.

C)Güçlü tümevarım sadece reel sayılar için geçerlidir.

D)Zayıf tümevarım daha geneldir.

23. Dinamik programlama hangi prensibe dayanır?

A)Lagrange çarpanları

B)Newton yöntemi

C)Gauss eleme

D)Bellman optimallik ilkesi

24. Normal dağılım eğrisinin altında kalan toplam alan kaçtır?

A)1

B)0.5

C)π

D)e

25. Bir topolojik uzayın 'bağlantılı' (connected) olması ne anlama gelir?

A)Uzayın boş olmayan iki ayrık açık kümenin birleşimi olarak yazılamaması

B)Uzayın her noktasının bir komşuluğunun olması

C)Uzayın sonlu sayıda noktadan oluşması

D)Uzayın tam metrik uzay olması

26. Köşegenleştirilebilir bir matrisin özelliği nedir?

A)Determinantın 1 olması

B)Simetrik olması

C)Sıfır özdeğerinin olması

D)Özvektörlerin baz oluşturması

27. Kök testi (root test) uygulandığında L < 1 olması ne anlama gelir?

A)Seri şartlı yakınsaktır

B)Seri ıraksar

C)Seri mutlak yakınsaktır

D)Test belirsizdir

28. İki küme arasında korunan bir işleme ne denir?

A)Otomorfizma

B)Biyeksiyon

C)İzomorfizma

D)Homomorfizma

29. y' + p(x)y = q(x) formundaki birinci mertebeden lineer bir diferansiyel denklemi çözmek için kullanılan çarpan aşağıdakilerden hangisidir?

A)e^(∫p(x)dx)

B)e^(∫q(x)dx)

C)e^(-∫p(x)dx)

D)∫p(x)e^x dx

30. Diverjans teoremi (Gauss) hangi alanlar için geçerlidir?

A)3D hacimsel

B)Tüm boyutlar

C)Sadece 1D

D)Sadece 2D

31. F vektör alanının diverjansı sıfır ise bu alan nasıl tanımlanır?

A)Potansiyel

B)Lineer

C)Solenoidal

D)İrrotasyonel

32. Korkak Tavuk (Chicken Game) modelinde stratejik temel çatışma nedir?

A)İki tarafın da geri adım atmayıp felakete yol açma riski.

B)Tarafların birbirini sürekli desteklemesi.

C)Oyunun tek bir kazananının olması zorunluluğu.

D)Sıfır toplamlı bir kazanç tablosu.

33. Annüite (anüite) nedir?

A)Tek seferlik ödeme

B)Düzenli aralıklarla yapılan eşit ödemeler

C)Hisse senedi

D)Faizsiz kredi

34. f(x)=cos(x) için Maclaurin serisinin 4. dereceden terimi nedir?

A)-x^4/24

B)x^4/24

C)x^4/4!

D)x^4/4

35. Runge-Kutta yöntemleri ne için kullanılır?

A)Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü

B)İntegraller

C)Matrisler

D)Kökler

36. n x n boyutlu bir A matrisinin tersinin olması için gerekli ve yeterli koşul aşağıdakilerden hangisidir?

A)İz(A) = 0 olması

B)Det(A) ≠ 0 olması

C)Tüm özdeğerlerin 1 olması

D)A'nın simetrik olması

37. x^2 ≡ a (mod p) ikinci dereceden kongrüansının çözülebilir olması için Legendre sembolü (a/p) değeri ne olmalıdır?

A)0

B)-1

C)1

D)2

38. RSA'da özel anahtar (private key) 'd' değeri hesaplanırken hangi şart aranır?

A)d * e ≡ 1 (mod φ(n))

B)d * e ≡ 0 (mod n)

C)d + e = φ(n)

D)d mod e = 1

39. Bir grubun mertebesi neyi ifade eder?

A)Eleman sayısı

B)En büyük eleman

C)İşlem sayısı

D)Alt grup sayısı

40. İki değişkenli fonksiyonda, x = 2 ve y = 3 noktası için kısmi türevleri aşağıdakilerden hangisiyle doğru hesaplanır?

A)∂f/∂x = f(2, 3 + h) - f(2, 3)/h

B)∂f/∂x = f(2 + h, 3) - f(2, 3)/h

C)∂f/∂y = f(2, 3 + h) - f(2, 3)/h

D)∂f/∂y = f(2 + h, 3) - f(2, 3)/h